Critical points of convex perturbations of some indefinite quadratic forms and semi-linear boundary value problems at resonance

Abstract

Critical points of convex perturbations of indefinite quadratic forms are obtained from the dual least action principle. The main result leads to necessary and sufficient conditions for the existence of a critical point when the corresponding Euler equation is scalar or when the perturbation is strictly convex. Applications are given to periodic solution of hamiltonian systems and to systems of semi-linear beam equations. A global version of the averaging method is given.

Résumé

On prouve l’existence de points critiques de perturbations convexes de formes quadratiques indéfinies par le principe de moindre action duale. Si l’équation d’Euler est scalaire ou si la perturbation est strictement convexe, on obtient des conditions nécessaires et suffisantes pour l’existence d’un point critique. Des applications sont données aux solutions périodiques de systèmes hamiltoniens et à des systèmes d’équations de poutre semi-linéaires. On obtient une version globale de la méthode de la moyenne.