Perturbation quasi différentielle d’un semi‐groupe régularisant dans une échelle d’espaces de Banach

Abstract

We give a global existence and uniqueness result for the evolution equation $u_t+Au=F(u)$, $u(0)=u_0$, where $-A$ is the infinitesimal generator of a linear semigroup $S(t)$ smoothing in a scale of Banach spaces $B_{\rho }$ and $F$ is a nonlinear quasi differential operator consistent with $S(t)$. We show that for $u_0$ small enough in $B_0$ there is a unique solution of the equation such that $u(t)$ remains bounded in $B_{\alpha t}$, for some $\alpha >0$. We apply this result to the motion of the interface of two liquids in a porous medium.

Résumé

Nous établissons un résultat d’existence global en temps pour l’équation d’évolution $u_t+Au=F(u)$, $u(0)=u_0$, où $-A$ est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe linéaire $S(t)$ régularisant dans une échelle d’espaces de Banach $B_{\rho }$, $F$ un opérateur non linéaire quasi différentiel « assez petit » compatible avec $S(t)$. Nous montrons que pour $u_0$ assez petit dans $B_0$, il existe une solution unique de l’équation telle $u(t)$ reste borné dans $B_{\alpha t}$, pour un certain $\alpha >0$. Nous donnons une application au mouvement de l’interface de deux liquides en milieu poreux.