Abstract

This work is concerned with travelling front solutions of semilinear parabolic equations in an infinite cylindrical domain Σ = R × ω where ω ⊂ Rn−1 is a bounded domain. We write for x in Σ, x = (x1, y), with y ∊ ω. The problems we consider are of the following type

where the unknowns are the parameter c ∊ R and the function u. The function \( \mathrm{\alpha } \in \mathrm{C}^{0}\left(\mathrm{\omega }\limits^{¯}\right) \) and the nonlinear term f: [0, 1] → R are given. (More general coefficients than c + α (y), β (y, c) are also treated.)

We obtain a fairly general resolution of this problem. The results depend on the type of nonlinearity considered. When f is of the bistable type, or of the “ignition temperature” type in combustion, we show the existence and uniqueness of c and of the profile u. In the case that f > 0 in (0, 1), we show the existence of c* ∊ R such that a solution exists if and only if c ≧ c*. These results extend to higher dimensions various classical results. In particular they extend the result of Kolmogorov, Petrovsky and Piskounov.

Résumé

Cet article a pour objet les solutions de type front progressif pour des équations paraboliques semi-linéaires dans un domaine cylindrique infini $\mathrm{\Sigma }=\mathrm{R}\times \omega o\grave{\mathrm{u}}\omega \subset {\mathrm{R}}^{n-1}$ est un domaine borné. Pour x dans Σ, nous noterons : x = (x1, y), avec y ∊ ω. Les problèmes que nous envisageons sont de la forme

où l’on cherche à déterminer le paramètre c ∊ R et la fonctions u. Le coefficient \( \mathrm{\alpha } \in \mathrm{C}^{0}\left(\mathrm{\omega }\limits^{¯}\right) \) ainsi que le terme non linéaire f: [0, 1] → R sont donnés. (Des coefficients plus généraux que c + α(y), du type β(y, c) sont également traités.)

Nous obtenons une résolution essentiellement complète de ce problème. Les résultats varient avec le type de nonlinéarité f. Lorsque f est du type « bistable » ou bien du type avec température d’ignition dans les modèles de combustion, nous montrons l’existence et l’unicité de c et du profil u. Dans le cas où f > 0 sur (0, 1), nous montrons lexistence de c* ∊ R tel quune solution existe si et seulement si c ≧ c*. Ces résultats étendent aux dimensions supérieures divers travaux classiques en dimension un. En particulier, ils généralisent le résultat de Kolmogorov, Petrovsky et Piskounov.