Travelling fronts in cylinders

Abstract

This work is concerned with travelling front solutions of semilinear parabolic equations in an infinite cylindrical domain $\Sigma =\text{R}\times \omega$ where $\omega \subset {\text{R}}^{n-1}$ is a bounded domain. We write for $x$ in $\Sigma$, $x=(x_1,y)$, with $y\in \omega$. The problems we consider are of the following type

where the unknowns are the parameter $c\in \text{R}$ and the function $u$. The function $\alpha \in C^0\left(\bar{\omega }\right)$ and the nonlinear term $f:[0,1]\to \text{R}$ are given. (More general coefficients than $c+\alpha (y)$, $\beta (y,c)$ are also treated.)

We obtain a fairly general resolution of this problem. The results depend on the type of nonlinearity considered. When $f$ is of the bistable type, or of the “ignition temperature” type in combustion, we show the existence and uniqueness of $c$ and of the profile $u$. In the case that $f>0$ in $(0,1)$, we show the existence of $c^{\ast }\in \text{R}$ such that a solution exists if and only if $c\geqq c^{\ast }$. These results extend to higher dimensions various classical results. In particular they extend the result of Kolmogorov, Petrovsky and Piskounov.

Résumé

Cet article a pour objet les solutions de type front progressif pour des équations paraboliques semi-linéaires dans un domaine cylindrique infini $\mathrm{\Sigma }=\mathrm{R}\times \omega o\grave{\mathrm{u}}\omega \subset {\mathrm{R}}^{n-1}$ est un domaine borné. Pour $x$ dans $\Sigma$, nous noterons : $x=(x_1,y)$, avec $y\in \omega$. Les problèmes que nous envisageons sont de la forme

où l’on cherche à déterminer le paramètre $c\in \text{R}$ et la fonctions $u$. Le coefficient $\alpha \in {\mathrm{C}}^0\left(\bar{\omega }\right)$ ainsi que le terme non linéaire $f:[0,1]\to \text{R}$ sont donnés. (Des coefficients plus généraux que $c+\alpha (y)$, du type $\beta (y,c)$ sont également traités.)

Nous obtenons une résolution essentiellement complète de ce problème. Les résultats varient avec le type de nonlinéarité $f$. Lorsque $f$ est du type « bistable » ou bien du type avec température d’ignition dans les modèles de combustion, nous montrons l’existence et l’unicité de $c$ et du profil $u$. Dans le cas où $f>0$ sur $(0,1)$, nous montrons lexistence de $c^{\ast }\in \text{R}$ tel quune solution existe si et seulement si $c\geqq c^{\ast }$. Ces résultats étendent aux dimensions supérieures divers travaux classiques en dimension un. En particulier, ils généralisent le résultat de Kolmogorov, Petrovsky et Piskounov.