Bounded approximants to monotone operators on Banach spaces

Abstract

It is shown that for any maximal monotone set-valued operator $T$ on a real Banach space $E$, there is a sequence $\{T_n\}$ of bounded maximal monotone operators which have nonempty values at each point and which converge to $T$ in a reasonable sense. Better convergence properties are shown to hold when $T$ is in a new proper subclass of maximal monotone operators (the “locally” maximal monotone operators), a subclass which coincides with the entire class in reflexive spaces. The approximation method is patterned on the one which results when the (maximal monotone) subdifferential $\partial f$ of a proper lower semicontinuous convex function $f$ is approximated by a sequence of bounded subdifferentials $\{\partial f_n\}$, where each $f_n$ is the (continuous and convex) inf-convolution of $f$ with the function $n\Vert \cdot \Vert$. The main advantage of this approximation scheme over the classical Moreau–Yosida approximation method is that it exists in non-reflexive Banach spaces.

Résumé

On montre que, pour chaque opérateur maximal monotone $T$ sur un espace de Banach $E$, il existe une suite $\{T_n\}$ d’opérateurs maximaux monotones bornés et non vides en chaque point, tel que $T_n\to T$ dans un sens raisonnable. De meilleures propriétés de convergence sont obtenues quand $T$ est « localement maximal monotone », une sous-classe nouvelle de celle des opérateurs maximaux monotones et qui coïncide avec celle-ci dans les espaces réflexifs. La méthode d’approximation procède selon l’exemple de l’approximation d’une sous-différentielle $\partial f$ (où $f$ est propre, convexe, et semi-continue inférieur) au moyen d’une suite $\{\partial f_n\}$ de sous-différentielles, où chaque $f_n$ est la inf-convolution (continue et convexe) de $f$ avec la fonction $n\Vert \cdot \Vert$. L’avantage principal de cette méthode sur la méthode classique de Moreau–Yosida est de rester applicable dans les espaces de Banach non réflexifs.