Maximum principles and a priori estimates for a class of problems from nonlinear elasticity

Abstract

We consider smooth solutions, $\mathcal{U}$, to the nonlinear elliptic system associated with a two dimensional elastic material which has energy functional

The function $H(d)$ is nonnegative, convex and unbounded in a neighborhood of zero. Two maximum principles are proved for $D\mathcal{U}$ and we show that if ${\Omega }^{\prime }⋐\Omega$ then $\Vert D\mathcal{U}{\Vert }_{C^{\alpha }({\Omega }^{\prime })}$ and $\Vert D{\mathcal{U}}^{-1}{\Vert }_{L^{\infty }({\Omega }^{\prime })}$ are bounded a priori in terms of $\Vert D\mathcal{U}{\Vert }_{L^p({\Omega }^{\prime })}$ and $\mathcal{W}(\mathcal{U})$ for some $p=p(H)$.

Résumé

On considère une solution régulière $\mathcal{U}$ du système elliptique non linéaire associé à la fonctionnelle d’énergie

en dimension 2, la fonction $H$ étant positive, convexe, et $H(t)\to +\infty$ quand $t\to 0_{+}$. On démontre deux principes du maximum et une estimation de $D\mathcal{U}$ à l’intérieur de $\Omega$.