A nonlinear model for inextensible rods as a low energy Γ-limit of three-dimensional nonlinear elasticity

Abstract

Using a variational approach we rigorously deduce a nonlinear model for inextensible rods from three-dimensional nonlinear elasticity, passing to the limit as the diameter of the rod goes to zero. The theory obtained is analogous to the Föppl–von Kármán theory for plates. We also derive an asymptotic expansion of the solution and compare it to a similar expansion which Murat and Sili obtained starting from three-dimensional linear elasticity.

Résumé

Par une méthode variationnelle on dérive rigoureusement un modèle non linéaire de poutre inextensionelle. Le modèle est déduit de l’élasticité non linéaire tridimensionnelle, après une mise à l’échelle adéquate, en passant à la limite lorsque le diamètre de la poutre tend vers zéro. On obtient ainsi une théorie analogue à celle de Föppl–von Kármán pour les plaques. On dérive aussi une expansion asymptotique des solutions et on la compare avec une expansion similaire que Murat et Sili ont obtenue à partir de la théorie linéaire de l’élasticité.