Stability of radially symmetric travelling waves in reaction–diffusion equations

Abstract

The asymptotic behaviour as $t$ goes to infinity of solutions $u(x,t)$ of the multidimensional parabolic equation $u_t=\Delta u+F(u)$ is studied in the “bistable” case. More precisely, we consider the stability of spherically symmetric travelling waves with respect to small perturbations. First, we show that such waves are stable against spherically symmetric perturbations, and that the perturbations decay like $(\log t)/t^2$ as $t$ goes to infinity. Next, we observe that this stability result cannot hold for arbitrary (i.e., non-symmetric) perturbations. Indeed, we prove that there exist small perturbations such that the solution $u(x,t)$ does not converge to a spherically symmetric profile as $t$ goes to infinity. More precisely, for any direction $k\in S^{n-1}$, the restriction of $u(x,t)$ to the ray $\{x=kr|r⩾0\}$ converges to a $k$-dependent translate of the one-dimensional travelling wave.

Résumé

On étudie le comportement pour les grands temps des solutions $u(x,t)$ de l’équation parabolique $u_t=\Delta u+F(u)$ dans le cas “bistable” et dans tout l’espace, en dimension supérieure. Plus précisément, on s’intéresse à la stabilité d’ondes progressives à symétrie sphérique pour de petites perturbations. Dans un premier temps, on montre que cette famille d’ondes est stable pour des perturbations à symétrie sphérique et que cette perturbation décroît comme $(\log t)/t^2$ quand $t$ tend vers l’infini. On montre ensuite que cette stabilité est mise en défaut pour des perturbations quelconques. En effet, on met en évidence des perturbations pour lesquelles la solution ne tend pas vers une onde à symétrie sphérique : dans chaque direction $k\in S^{n-1}$, la restriction de $u(x,t)$ au rayon $\{x=kr|r⩾0\}$ converge vers un translaté de l’onde progressive unidimensionnelle dépendant de $k$.