A general approach to the existence of minimizers of one-dimensional non-coercive integrals of the calculus of variations

Abstract

We present a general approach to get the existence of minimizers for a class of one-dimensional non-parametric integrals of the calculus of variations with non-coercive integrands. Motivated by the concrete applicative relevance of the problems, we extend the notion of solution to a class of locally absolutely continuous functions with generic boundary values. We extend by lower semi-continuity the functionals and we prove for them representation formulae. Assuming some structure conditions on the partial derivatives of the integrand, we obtain some ${\mathrm{W}}_{\mathrm{loc}}^{1,\infty }$a priori estimates that we use as a main tool to get existence. The results are then applied to get existence theorems for the classical Fermat’s problem and for recent optimal foraging models of behavioural ecology.

Résumé

On présente une approche générale pour obtenir l’existence de minimiseurs pour une classe d’intégrales unidimensionnelles non paramétriques du calcul des variations avec intégrandes non coercitives. En vue des applications concrètes, on étend la notion de solution à une classe de fonctions absolument continues localement ayant des valeurs aux bords génériques. On étend par semi-continuité les fonctionnelles pour lesquelles on prouve des formules de représentation. Supposant quelques conditions de structure sur les dérivées partielles de l’intégrande, on obtient a priori des estimations ${\mathrm{W}}_{\mathrm{loc}}^{1,\infty }$ que l’on utilise pour obtenir l’existence. Les résultats sont ensuite appliqués à des exemples classiques (notamment au problème de Fermât) et à des modèles récents d’approvisionnement optimal en écologie du comportement, pour lesquels on démontre des théorèmes d’existence.