JournalsaihpcVol. 21, No. 3pp. 381–399

Statistical mechanics of the N-point vortex system with random intensities on a bounded domain

  • Cassio Neri

    Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Caixa Postal 68530, CEP 21945-970, Rio de Janeiro, Brazil
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Abstract

The system of N point vortices on a bounded domain Ω is considered under the hypothesis that vortex intensities are independent and identically distributed random variables with respect to a law P supported on a bounded subset of ℝ. It is shown that, in the limit N→+∞, the 1-vortex distribution on Ω is a minimizer of the free energy functional (a combination of entropy and energy functionals) and is associated to (some) solutions of the following non-linear Poisson Equation (called Mean Field Equation):

{Δu(x)=[eβru(y)dyP(dr)]1r1eβru(x)P(dr),xΩ,u(x)=0,xΩ.\left\{\begin{matrix} - \Delta u\left(x\right) = \left[\int \int e^{ - \beta ru\left(y\right)}\text{dy}P\left(\text{d}r\right)\right]^{ - 1}\int r_{1}e^{ - \beta ru\left(x\right)}P\left(\text{d}r\right), & \forall x \in \Omega , \\ u\left(x\right) = 0, & \forall x \in \partial \Omega . \\ \end{matrix}\right.

Résumé

Le systéme de N vortex ponctuels sur un domaine Ω borné est considéré sous l’hypothèse que les intensités des vortex sont des variables aléatoires indépendentes et identiquement distribuées selon la loi P de support inclus dans un borné de ℝ. On montre que, à la limite quand N→+∞, la distribution d’un seul vortex dans Ω est un minimiseur de la fonctionnelle d’énergie libre (qui est une composition de l’entropie et de l’énergie) et qui est associée à (certaines) solutions de l’équation de Poisson non linéaire (dite de Champ Moyen) (1).

Cite this article

Cassio Neri, Statistical mechanics of the N-point vortex system with random intensities on a bounded domain. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 21 (2004), no. 3, pp. 381–399

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2003.05.002