Statistical mechanics of the N-point vortex system with random intensities on a bounded domain

Abstract

The system of $N$ point vortices on a bounded domain $\Omega$ is considered under the hypothesis that vortex intensities are independent and identically distributed random variables with respect to a law $P$ supported on a bounded subset of $R$. It is shown that, in the limit $N\to +\infty$, the 1-vortex distribution on $\Omega$ is a minimizer of the free energy functional (a combination of entropy and energy functionals) and is associated to (some) solutions of the following non-linear Poisson Equation (called Mean Field Equation):

Résumé

Le systéme de $N$ vortex ponctuels sur un domaine $\Omega$ borné est considéré sous l’hypothèse que les intensités des vortex sont des variables aléatoires indépendentes et identiquement distribuées selon la loi $P$ de support inclus dans un borné de $R$. On montre que, à la limite quand $N\to +\infty$, la distribution d’un seul vortex dans $\Omega$ est un minimiseur de la fonctionnelle d’énergie libre (qui est une composition de l’entropie et de l’énergie) et qui est associée à (certaines) solutions de l’équation de Poisson non linéaire (dite de Champ Moyen) (1).