An energy estimate of an exterior problem and a Liouville theorem for harmonic maps

Abstract

We prove that the exterior harmonic maps, from $R^n\setminus \Omega$ ($n\geqq 3$) to a bounded strictly convex geodesic ball of some Riemannian manifolds, have finite conformal invariant energy. A consequence of this estimate is a Liouville theorem which states that harmonic maps between Euclidean space $(R^n,g_0)$ and Riemannian manifolds are constant maps provided their image at infinity falls into a bounded strictly convex geodesic ball.

Résumé

Nous démontrons que des applications harmoniques extérieures, de $R^n\setminus \Omega$ ($n\geqq 3$) vers une boule géodésique donnée strictement convexe d’une variété riemannienne, ont une énergie invariante conforme finie. Une conséquence de ce résultat est un théorème de Liouville qui montre qu’une application harmonique, entre un espace euclidien $(R^n,g_0)$ et des variétés riemanniennes, est constante dès que son image à l’infini est continue dans une boule géodésique bornée strictement convexe.