Further remarks on the lower semicontinuity of polyconvex integrals

Abstract

We study some lower semicontinuity properties of polyconvex integrals of the form ${\int }_{\mathrm{\Omega }}f\left(M\left(\nabla u\right)\right)dx$, where $\Omega \subset R^n$, $u:\Omega \to R^m$, and $M(\nabla u)$ denotes the family of the determinants of all minors of the gradient matrix $\nabla u$. In particular, we study the lower semicontinuity along sequences converging strongly in $L^1(\Omega ,R^m)$ when the integrand depends only on the minors of $\nabla u$ up to a given order, and the lower semicontinuity along sequences converging strongly in $L$1(Ω, ℝ^n)$andboundedin$W^{1,n−1}(Ω, ℝ^n)$inthespecialcase$m = n$.

Résumé

Nous étudions la semicontinuité inférieure d’intégrales polyconvexes de la forme ${\int }_{\mathrm{\Omega }}f\left(M\left(\nabla u\right)\right)dx$, où $\Omega \subset R^n$, $u:\Omega \to R^m$, et $M(\nabla u)$ désigne le vecteur des déterminants de tous les mmeurs de la matrice gradient $\nabla u$. En particulier, nous étudions la semicontinuité inférieure sur les suites convergentes fortement en $L^1(\Omega ,R^m)$ lorsque l’integrande dépend seulement des mineurs de $\nabla u$ jusqu’à un certain ordre et la semicontinuité inférieure sur les suites convergentes fortement en $L^1(\Omega ,R^m)$ et bornées en $W^{1,n-1}(\Omega ,R^n)$ dans le cas spécial $m=n$.