Concentration phenomena for solutions of superlinear elliptic problems

Abstract

In this paper we look for positive solutions of the problem $-\mathrm{\Delta }u+\lambda u=u^{p-1}$ in $\Omega$, $u=0$ on $\partial \Omega$, where $\Omega$ is a bounded domain in ${\mathbb{R}}^n$, $n⩾3$, $p>2$ and $\lambda$ is a positive parameter. We describe new concentration phenomena, which occur as $\lambda \to +\infty$, and exploit them to construct (for $\lambda$ large enough) positive solutions that concentrate near spheres of codimension 2 as $\lambda \to +\infty$; these spheres approach the boundary of $\Omega$ as $\lambda \to +\infty$. Notice that the existence and multiplicity results we obtain hold also in contractible domains arbitrarily close to starshaped domains (no solution can exist if $p⩾\frac{2n}{n-2}$ and $\Omega$ is starshaped, because of Pohožaev's identity). The method we use is completely variational and based on a blow up analysis in the equivariant setting. In order to avoid concentration phenomena near points and to overcome some difficulties related to the lack of compactness, we first modify the nonlinear term in a suitable region, then we solve the modified problem by minimizing the related energy functional on a suitable infinite dimensional manifold and, finally, we show that the solutions of the modified problem solve also our problem, for $\lambda$ large enough, because they are localized in the prescribed region where the nonlinear term has not been modified.

Résumé

Nous démontrons l'existence de solutions positives pour le problème $-\mathrm{\Delta }u+\lambda u=u^{p-1}$ en $\Omega$, $u=0$ sur $\partial \Omega$, où $\Omega$ est un domaine borné de ${\mathbb{R}}^n$, $n⩾3$, $p>2$ et $\lambda >0$. Nous décrivons de nouveaux phénomènes de concentration qui apparaissent quand $\lambda \to +\infty$. Grâce à ceux-ci nous construisons des solutions positives pour $\lambda$ assez grand donc qui se concentrent près des sphères de codimention 2 quand $\lambda \to +\infty$ ; ces sphères approchent du bord de omega quand $\lambda \to +\infty$. Il faut remarquer que l'existence de solutions est prouvée pour des domaines qui peuvent être arbitrairement proches de domaines étoilés (quand $p⩾\frac{2n}{n-2}$ et $\Omega$ est étoilé il n'y a pas de solutions, ce qui se déduit de l'identité de Pohožaev). La méthode que nous suivons pour la démonstration est complètement variationnelle. Pour surmonter les difficultés liées à la présence d'opérateurs non compacts, d'abord nous modifions le terme non linéaire ; ensuite nous trouvons des solutions du problème modifié en minimisant la fonctionnelle de l'énergie sur une varieté de dimension infinie ; enfin nous démontrons que les solutions du problème modifié sont aussi solutions du problème original, parce-qu'elles sont localisées, dans la région où le terme non linéaire n'a pas été modifié.