Sur une question de H. Brezis, M. Marcus et A.C. Ponce

Abstract

Investigating a question raised in a recent paper of Brezis–Marcus–Ponce [5] we show that if $\mu$ is a singular continuous Radon measure in the open subset $U$ of ${\mathbb{R}}^d$, there is no continuous linear map $f\mapsto (u_f,g_f)$ from $L^1(\mu )$ to $H^1(U)\times L^1(U)$ such that $f\cdot \mu =\mathrm{\Delta }{u}_f+g_f$ in the sense of distributions. A generalization is also described.

Résumé

À la suite d'une question soulevée dans un travail de Brezis–Marcus–Ponce [5] on montre que si $\mu$ est une mesure de Radon diffuse et singulière sur l'ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^d$, il n'existe pas d'application linéaire continue $f\mapsto (u_f,g_f)$ de $L^1(\mu )$ dans $H^1(U)\times L^1(U)$ telle que $f\cdot \mu =\mathrm{\Delta }{u}_f+g_f$ au sens de ${\mathcal{D}}^{\prime }(U)$. On indique ensuite une généralisation.