Stabilization of second order evolution equations by unbounded nonlinear feedback

Abstract

For an abstract evolution equation of the form $u_{tt}+Au+\partial \psi (u_t)\ni 0$, general conditions on the “unbounded” feedback are given, that ensure strong asymptotic stability. Essentially the directions determined by the convex of the minima of the functional $\psi$ should not intersect the eigenspaces of $A$. Equivalently, the feedback on the velocity must dissipate enough energy, in the sense that the kernel of the form $⟨\partial \psi (\cdot ),\cdot ⟩$ is not larger than the kernel of a “strategic” observation operator, for the uncontrolled system. The particular case where the control operator is the dual of the observation operator is specifically considered: the condition then corresponds to more classical rank conditions on the observation operator. The interest of the present framework is that it applies to boundary controls and to interior controls on thin sets (of zero measure but positive capacity). Several examples, including wave, beam and plate equations are considered.

Résumé

Pour un problème d’évolution abstrait de la forme$u_{tt}+Au+\partial \psi (u_t)\ni 0$, on donne des conditions générales sur le feedback « non borné » pour assurer la stabilité asymptotique forte. Essentiellement les directions déterminées par le convexe des minima de $\psi$ ne doivent pas être des directions propres de l’opérateur $A$. De façon équivalente, il faut que le bouclage sur la vitesse soit suffisamment dissipatif, en ce sens que le noyau de la forme $⟨\partial \psi (\cdot ),\cdot ⟩$ ne doit pas être plus gros que le noyau d’un observateur « stratégique », pour le système non contrôlé. Le cas particulier où l’opérateur de contrôle est l’adjoint de l’opérateur d’observation est étudié; la condition se ramène alors à des conditions plus classiques de rang sur l’opérateur d’observation. Le cadre proposé ici englobe le cas de contrôles frontières ou intérieurs, distribués ou ponctuels, ainsi que des contrôles unilatéraux. Divers exemples concernant les équations des ondes, des poutres ou des plaques, éventuellement avec des contrôles sur des ensembles « fins », sont proposés.