The existence of Ginzburg–Landau solutions on the plane by a direct variational method

Abstract

This paper studies the existence and the minimization problem of the solutions of the Ginzburg-Landau equations in ${\mathbf{R}}^2$ coupled with an external magnetic field or a source current. The lack of a suitable Sobolev inequality makes it necessary to consider a variational problem over a special admissible space so that the space norms of the gauge vector fields of a minimization sequence can be controlled by the corresponding energy upper bound and a solution may be obtained as a minimizer of a modified energy of the problem. Asymptotic properties and flux quantization are established for finite-energy solutions. Besides, it is shown that the solutions obtained also minimize the original Ginzburg–Landau energy when the admissible space is properly chosen.

Résumé

Le but de ce travail est d’étudier l’existence et le problème de minimisation des solutions des équations de Ginzburg-Landau dans ${\mathbf{R}}^2$, couplées avec un champ magnétique externe ou une source de courant. L’absence d’une inégalité convenable de Sobolev amène à considérer un problème variationnel sur un espace admissible spécial. Sur cet espace, les normes des champs de vecteurs de la gauge d’une suite minimisante peuvent être contrôlées par la borne supérieure de l’énergie correspondante. Aussi, une solution peut être obtenue comme un minimiseur d’une énergie modifiée du problème. Des propriétés asymptotiques et une quantification de flux sont établies par des solutions d’énergie finie. Entre autres, il est prouvé que les solutions obtenues minimisent aussi l’énergie originale de Ginzburg–Landau lorsque l’espace admissible est convenablement choisi.