A characterization of families of function sets described by constraints on the gradient

Abstract

One of the results proved in the paper deals with a characterization of the families $\{K(\Omega ):\Omega \text{ bounded open set}\}$ of subsets of $W_{\mathrm{loc}}^{1,p}(R^n)(p\in [1,+\infty ])$ whose elements can be described as $K(\mathrm{\Omega })=\{u\in W_{\mathrm{loc}}^{1,p}(R^n):Du(x)\in C\text{ for a.e. }x\text{ in }\Omega \}$, $C$ being a closed convex subset of $R^n$.

Characterizations similar to the above mentioned but for families of subsets of $B{V}_{\mathrm{loc}}(R^n)$ and $L_{\mathrm{loc}}^p(R^n)$ are also proved.

These results are deduced by a general characterization theorem for families of subsets of a Hausdorff locally convex topological vector subspace of $L_{\mathrm{loc}}^1(R^n)$.

An application to the problem of the homogenization of the elastic-plastic torsion of a cylindrical bar is given.

Résumé

Un des résultats démontrés dans notre travail concerne une caractérisation des familles $\{K(\Omega ):\Omega ,\text{ ensemble ouvert borneˊ}\}$ des sous-ensembles de $W_{\mathrm{loc}}^{1,p}(R^n)(p\in [1,+\infty ])$ dont les éléments peuvent être décrits comme $K(\mathrm{\Omega })=\{u\in W_{\mathrm{loc}}^{1,p}(R^n):Du(x)\in C\text{ pour presque chaque }x\text{ en }\Omega \}$, $C$ étant un sous-ensemble convexe fermé de $R^n$.

On prouve aussi des caractérisations similaires pour des familles de sous-ensembles de $B{V}_{\mathrm{loc}}(R^n)$ et de $L_{\mathrm{loc}}^p(R^n)$.

Nos résultats sont dérivés par un théorème général de caractérisation pour des familles de sous-ensembles d’un sous-espace vectoriel topologique de Hausdorff localement convexe de $L_{\mathrm{loc}}^1(R^n)$.

On donne une application pour le problème d’homogénéisation de la torsion élastoplastique d’une barre cylindrique.