Supercritical elliptic problems in domains with small holes

Abstract

Let $\mathcal{D}$ be a bounded, smooth domain in ${\mathbb{R}}^N$, $N⩾3$, $P\in \mathcal{D}$. We consider the boundary value problem in $\Omega =\mathcal{D}\setminus B_{\delta }(P)$,

with $p$ supercritical, namely $p>\frac{N+2}{N-2}$. We find a sequence

such that if $p$ is given, with $p\ne p_j$ for all $j$, then for all $\delta >0$ sufficiently small, this problem is solvable.

Résumé

Soient $\mathcal{D}$ un domaine borné régulier de ${\mathbb{R}}^N$, $N⩾3$, et $P\in \mathcal{D}$. Nous définissons $\Omega =\mathcal{D}\setminus B_{\delta }(P)$ et nous nous intéressons au problème de Dirichlet

dans le cas où l'exposant $p$ est surcritique, c'est à dire que $p>\frac{N+2}{N-2}$. Nous démontrons l'existence d'une suite d'exposants $p_1<p_2<p_3<\cdots$ qui tend vers l'infini et telle que, si $p$ est fixé, $p\ne p_j$ pour tout $j$, il existe ${\delta }_p>0$ assez petit pour lequel le problème ci-dessus admet une solution pour tout $\delta ⩽{\delta }_p$.