Exact controllability in projections for three-dimensional Navier–Stokes equations

Abstract

The paper is devoted to studying controllability properties for 3D Navier–Stokes equations in a bounded domain. We establish a sufficient condition under which the problem in question is exactly controllable in any finite-dimensional projection. Our sufficient condition is verified for any torus in ${\mathbb{R}}^3$. The proofs are based on a development of a general approach introduced by Agrachev and Sarychev in the 2D case. As a simple consequence of the result on controllability, we show that the Cauchy problem for the 3D Navier–Stokes system has a unique strong solution for any initial function and a large class of external forces.

Résumé

L'article est consacré à l'étude de propriétés de contrôlabilité pour les équations de Navier–Stokes 3D dans un domaine borné. On établit une condition suffisante sous laquelle le problème en question est exactement contrôlable en toute projection de dimension finie. Notre condition suffisante est vérifiée pour tout tore dans ${\mathbb{R}}^3$. Les démonstrations sont basées sur un développement d'une approche générale introduite par Agrachev and Sarychev dans le cas 2D. Comme une conséquence simple du résultat de contrôlabilité, on montre que le problème de Cauchy pour le système de Navier–Stokes 3D possède une unique solution forte pour toute donnée initiale et une grande classe de forces extérieures.