Clustered solutions around harmonic centers to a coupled elliptic system

Abstract

We study the following system of Schrödinger–Maxwell equations

where $\Omega$ is a smooth and bounded domain of ${\mathbb{R}}^3$. We prove that for any integer $k$ the system has a family of solutions $(v_{\varepsilon },{\varphi }_{\varepsilon })$ such that the form of $v_{\varepsilon }$ consists of $k$ spikes concentrating at a harmonic center of $\Omega$ as $\varepsilon \to 0^{+}$. Furthermore we show that the spikes approach the vertexes of a configuration which maximizes a suitable geometrical problem.

Résumé

On étudie le système d'équations de Schrödinger–Maxwell suivant :

où $\Omega$ est un ouvert borné régulier. On montre que pour tout entier $k$ le système a une famille de solutions $(v_{\varepsilon },{\varphi }_{\varepsilon })$ telle que la forme de $v_{\varepsilon }$ consiste en $k$ pointes qui se concentrent sur un centre harmonique de $\Omega$ lorsque $\varepsilon \to 0^{+}$. On montre, en plus, que les pointes approchent les sommets d'une configuration qui maximise un problème géométrique.