The Wigner–Poisson–Fokker–Planck system: global-in-time solution and dispersive effects

Abstract

This paper is concerned with the Wigner–Poisson–Fokker–Planck system, a kinetic evolution equation for an open quantum system with a non-linear Hartree potential. Existence, uniqueness and regularity of global solutions to the Cauchy problem in 3 dimensions are established. The analysis is carried out in a weighted $L^2$-space, such that the linear quantum Fokker–Planck operator generates a dissipative semigroup. The non-linear potential can be controlled by using the parabolic regularization of the system.

The main technical difficulty for establishing global-in-time solutions is to derive a-priori estimates on the electric field: Inspired by a strategy for the classical Vlasov–Fokker–Planck equation, we exploit dispersive effects of the free transport operator. As a “by-product” we also derive a new a-priori estimate on the field in the Wigner–Poisson equation.

Résumé

On considère le système de Wigner–Poisson–Fokker–Planck, une équation évolutive cinétique pour un système quantique ouvert sujet à un potentiel non-linéaire du type Hartree. On démontre l'existence, l'unicité et la régularité pour les solutions du problème de Cauchy en dimension 3. On travaille dans un espace $L^2$ avec poids, où l'opérateur de Fokker–Planck engendre un semi group dissipatif. La régularisation parabolique du dernier operateur contrôle le potentiel non-linéaire.

D'un côté technique, la difficulté principale pour établir l'existence globale en temps des solutions réside démontrer des bornes a-priori pour le champ électrique : on étend une stratégie issue de l'équation classique de Vlasov–Fokker–Planck qu'utilise les effets dispersifs d'équation du transport libre. En conséquence, on obtient aussi une nouvelle borne pour le champ dans le cas de Wigner–Poisson.