JournalsaihpcVol. 6, No. 5pp. 397–417

Homogénéisation d’équations hyperboliques du premier ordre et application aux écoulements miscibles en milieu poreux

  • Youcef Amirat

    I.N.R.I.A., Domaine de Voluceau, Rocquencourt, B.P. n° 105, 78153 Le Chesnay Cedex, France
  • Kamel Hamdache

    C.N.R.S.-E.N.S.T.A./G.H.N., Centre de l’Yvette, chemin de la Hunière, 91120 Palaiseau, France
  • Abdelhamid Ziani

    Institut des Mathématiques, U.S.T.H.B., B.P. 31, El Alia, Alger, Algérie
Homogénéisation d’équations hyperboliques du premier ordre et application aux écoulements miscibles en milieu poreux cover
Download PDF

Abstract

Résumé

On s’intéresse à l’homogénéisation de l’équation hyperbolique modèle

tuε+aε(t,y)xuε=0,t>0,xR,yΩRN,∂_{t}\:u^{\mathrm{\varepsilon }} + a^{\mathrm{\varepsilon }}(t,y)∂_{x}\:u^{\mathrm{\varepsilon }} = 0,\:t > 0,\:\:x \in ℝ,\:y \in \mathrm{\Omega } \subset ℝ^{\mathrm{N}},

munie d’une condition initiale (et d’une condition aux limites lorsque x ∈]0, 1[). Pour cela, nous caractérisons la limite L∞(Ω) faible * de fonctions du type φxε(λ)=(λAε(y))1\mathrm{\varphi }_{x}^{\mathrm{\varepsilon }}(\mathrm{\lambda }) = (\mathrm{\lambda }−\mathrm{A}^{\mathrm{\varepsilon }}(y))^{−1} définies pour , λ ∉ [m, M] et vérifiant 0 < m ≦ Αε(y) ≦ M, en utilisant la représentation intégrale de fonctions holomorphes du type Nevanlinna-Pick. L’équation homogénéisée fait apparaître en plus de la partie de transport de l’équation, un opérateur de diffusion à mémoire. Une application à un modèle multidimensionnel d’écoulements miscibles en milieu poreux est considérée.

This paper is devoted to the homogenization of the following hyperbolic équation

tuε+aε(t,y)xuε=0,t>0,xR,yΩRN,∂_{t}\:u^{\mathrm{\varepsilon }} + a^{\mathrm{\varepsilon }}(t,y)∂_{x}\:u^{\mathrm{\varepsilon }} = 0,\:t > 0,\:x \in ℝ,\:y \in \mathrm{\Omega } \subset ℝ^{\mathrm{N}},

with initial data and boundary condition when x ∈]0, 1[. One characterize the L∞ weak * limit of some holomorphic functions of the type φxε(λ)=(λAε(y))1\mathrm{\varphi }_{x}^{\mathrm{\varepsilon }}(\mathrm{\lambda }) = (\mathrm{\lambda }−\mathrm{A}^{\mathrm{\varepsilon }}(y))^{−1}, with 0 < m ≦ Aε(y) ≦ M for a.e., y, by using the integral representation of Nevanlinna-Pick’s holomorphic functions. It appears in the homogenized equation the natural transport operator and a diffusion operator (in the x variable) with memory effect (in the time variable t). An application for a multidimensional miscible flow in porous media is given.

Cite this article

Youcef Amirat, Kamel Hamdache, Abdelhamid Ziani, Homogénéisation d’équations hyperboliques du premier ordre et application aux écoulements miscibles en milieu poreux. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 6 (1989), no. 5, pp. 397–417

DOI 10.1016/S0294-1449(16)30317-1