Homogénéisation d’équations hyperboliques du premier ordre et application aux écoulements miscibles en milieu poreux

Abstract

This paper is devoted to the homogenization of the following hyperbolic équation

with initial data and boundary condition when $x\in ]0,1[$. One characterize the $L^{\infty }$ weak $\ast$ limit of some holomorphic functions of the type ${\phi }_x^{\epsilon }(\lambda )=(\lambda -{\mathrm{A}}^{\epsilon }(y){)}^{-1}$, $\lambda \in \mathbb{C}\setminus [m,M]$ with $0<m\leqq A^{\epsilon }(y)\leqq M$ for a.e., y, by using the integral representation of Nevanlinna–Pick’s holomorphic functions. It appears in the homogenized equation the natural transport operator and a diffusion operator (in the $x$ variable) with memory effect (in the time variable $t$). An application for a multidimensional miscible flow in porous media is given.

Résumé

On s’intéresse à l’homogénéisation de l’équation hyperbolique modèle

munie d’une condition initiale (et d’une condition aux limites lorsque $x\in ]0,1[$). Pour cela, nous caractérisons la limite $L^{\infty }(\Omega )$ faible $\ast$ de fonctions du type ${\phi }_x^{\epsilon }(\lambda )=(\lambda -{\mathrm{A}}^{\epsilon }(y){)}^{-1}$ définies pour , $\lambda \notin [m,M]$ et vérifiant $0<m\leqq A^{\epsilon }(y)\leqq M$, en utilisant la représentation intégrale de fonctions holomorphes du type Nevanlinna–Pick. L’équation homogénéisée fait apparaître en plus de la partie de transport de l’équation, un opérateur de diffusion à mémoire. Une application à un modèle multidimensionnel d’écoulements miscibles en milieu poreux est considérée.