Abstract

Résumé

On s’intéresse à l’homogénéisation de l’équation hyperbolique modèle

munie d’une condition initiale (et d’une condition aux limites lorsque x ∈]0, 1[). Pour cela, nous caractérisons la limite L∞(Ω) faible * de fonctions du type $\mathrm{\varphi }_{x}^{\mathrm{\varepsilon }}(\mathrm{\lambda }) = (\mathrm{\lambda }−\mathrm{A}^{\mathrm{\varepsilon }}(y))^{−1}$ définies pour , λ ∉ [m, M] et vérifiant 0 < m ≦ Αε(y) ≦ M, en utilisant la représentation intégrale de fonctions holomorphes du type Nevanlinna-Pick. L’équation homogénéisée fait apparaître en plus de la partie de transport de l’équation, un opérateur de diffusion à mémoire. Une application à un modèle multidimensionnel d’écoulements miscibles en milieu poreux est considérée.

This paper is devoted to the homogenization of the following hyperbolic équation

with initial data and boundary condition when x ∈]0, 1[. One characterize the L∞ weak * limit of some holomorphic functions of the type $\mathrm{\varphi }_{x}^{\mathrm{\varepsilon }}(\mathrm{\lambda }) = (\mathrm{\lambda }−\mathrm{A}^{\mathrm{\varepsilon }}(y))^{−1}$, with 0 < m ≦ Aε(y) ≦ M for a.e., y, by using the integral representation of Nevanlinna-Pick’s holomorphic functions. It appears in the homogenized equation the natural transport operator and a diffusion operator (in the x variable) with memory effect (in the time variable t). An application for a multidimensional miscible flow in porous media is given.