On the local solution of the tangential Cauchy–Riemann equations

Abstract

We study the solution operators $P$ and homotopy formula introduced by G. M. Henkin for the tangential Cauchy–Riemann complex of a suitable small domain $D$ on a strictly pseudoconvex real hypersurface in complex $n$-space. The main difficulties stem from the fact that $P$ is an integral operator with a rather complicated kernel. For $U⋐D$, we derive a $C^k$-norm estimate of the form $\Vert P\phi {\Vert }_{U,k}\leqq K\Vert \phi {\Vert }_{D,k}$, where the constant $K$ blows up as $U$ increases to $D$. We obtain careful control of the rate of this blow-up and of the dependence of $K$ on the derivatives of the function defining the real hypersurface. Our estimates are sufficient for application to the local CR embedding problem.

Résumé

Nous étudions les opérateurs intégraux $P$ dans la formule d’homotopie de G. M. Henkin pour le complexe tangentiel de Cauchy–Riemann sur un petit domaine d’une hypersurface réelle strictement pseudoconvexe dans l’espace $C^n$. Avec les $C^k$-normes pour les domaines $U⋐D$ nous dérivons une borne, $|P\phi {|}_{U,k}\leqq K|\phi {|}_{D,k}$, dans laquelle le constant $K$ tend vers $+\infty$ lorsque $U$ tend vers $D$. Nous constatons cette croissance de $K$ et la dépendance de $K$ sur les dérivées de la fonction qui définit ľhypersurface.