Small time periodic solutions of fully nonlinear telegraph equations in more spatial dimensions

Abstract

The solution to the problem is expressed by means of a couple of new dependent variables—the time derivative of the desired solution and a function independent of time, which is the trace of the solution in a fixed time. This simple device makes it possible to prove the existence of a time-periodic solution without encountering the “loss of derivatives” phenomenon.

The result provides a small smooth solution, unique in a neighbourhood of zero, for any equation which is a perturbation of a suitable linear telegraph equation at least by quadratic terms which can involve any derivatives up to order two of the unknown function.

Résumé

On démontre l’existence d’une solution périodique en temps pour une équation hyperbolique du deuxième ordre avec dissipation et une force périodique mais petite et avec une non-linéarité composée de dérivées de la variable dépendante dont l’ordre ne dépasse pas deux.

Le phénomène de «la perte des dérivées» est détourné par une simple transformation de la variable dépendante.