On the proof of Kuranishi’s embedding theorem

Abstract

We prove a local holomorphic embedding theorem for a formally integrable, strictly pseudoconvex CR manifold M with $\dim M=2n-1\geqq 7$. This embedding is obtained as the limit of a sequence of approximate embeddings into complex $n$-space, which is constructed and shown to converge by the methods of Nash and Moser. The linearized problem is solved using the explicit integral operators constructed by Henkin. With estimates wich we have previously obtained for these operators, we show that if $M$ is of class $C^m$, then it admits a $C^k$ embedding provided $21\leqq k$, $6k+5n-2\leqq m$. Our argument is much shorter and simpler than previous arguments, which were based on the Neumann operator and carried out in the $C^{\infty }$category.

Résumé

Nous démontrons un théorème de plongement holomorphe local pour une variété CR M, intégrable et strictement pseudoconvexe, si $\dim M=2n-1\geqq 7$. Ce plongement est obtenu comme limite d’une suite de plongements approximatifs dans l’espace $C^n$. Nous construisons cette suite et démontrons sa convergence par les méthodes de Nash et Moser. Pour le problème linéarisé nous utilisons les opérateurs construits par Henkin et les bornes que nous avons obtenu auparavant. Si M est de classe $C^m$, le plongement est de classe $C^k$ pourvu que $k\geqq 21$ et $m\geqq 6k+5n-2$.