Harmonic gauges on Riemann surfaces and stable bundles

Abstract

We consider, on a compact Riemann surface $M$, a set of equations, generalizing harmonic maps from M into the unitary group.

Using a 0-curvature representation, we describe every solution on $S^2$ in terms of appropriate holomorphic vector bundles (called unitons), extending some previous results by Uhlenbeck and the author; and we make some remarks on the Morse and algebro-geometric stability of the solutions.

Résumé

Nous considérons, sur une surface de Riemann compacte $M$, un système d’équations, généralisant les fonctions harmoniques de $M$ dans le groupe unitaire.

En employant une représentation de Zakharov–Shabat, nous décrivons toutes les solutions sur $S^2$ en termes d’appropriés fibrés vectoriels holomorphes (appelés unitons), en étendant quelques résultats précédents de Uhlenbeck et de l’auteur; nous faisons des observations sur la stabilité de Morse et algébro-géométrique des solutions.