A-quasiconvexity: weak-star convergence and the gap

Abstract

Lower semicontinuity results with respect to weak-$\ast$ convergence in the sense of measures and with respect to weak convergence in $L^p$ are obtained for functionals

where admissible sequences $\{v_n\}$ satisfy a first order system of PDEs $\mathcal{A}{v}_n=0$. We suppose that $\mathcal{A}$ has constant rank, $f$ is $\mathcal{A}$-quasiconvex and satisfies the non standard growth conditions

with $q\in [p,pN/(N-1))$ for $p⩽N-1$, $q\in [p,p+1)$ for $p>N-1$. In particular, our results generalize earlier work where $\mathcal{A}v=0$ reduced to $v={\nabla }^{s}u$ for some $s\in N$.

Résumé

Des résultats de semi-continuité inférieure pour la convergence faible des mesures sont obtenues pour des fonctionnelles

où les suites admissibles $\{v_n\}$ satisfont un système d’EDP du 1er ordre et $\mathcal{A}{v}_n=0$. Nous supposons que $\mathcal{A}$ a un rang constant, que $f$ est $\mathcal{A}$-quasiconvexe et satisfait les conditions de croissance non standards

où $q\in [p,pN/(N-1))$ pour $p⩽N-1$, $q\in [p,p+1)$ pour $p>N-1$. En particulier, nos résultats généralisent des résultats antérieurs où $\mathcal{A}v=0$ se réduit à $v={\nabla }^{s}u$ pour $s\in N$.