An approach of deterministic control problems with unbounded data

Abstract

We prove that the value function of a deterministic unbounded control problem is a viscosity solution and the maximum viscosity subsolution of a family of Bellman Equations; in particular, the one given by the hamiltonian, generally discontinuous, associated formally to the problem by analogy with the bounded case. In some cases, we show that this equation is equivalent to a first-order Hamilton–Jacobi Equation with gradient constraints for which we give several existence and uniqueness results. Finally, we indicate other applications of these results to first-order H. J. Equations, to some cheap control problems and to uniqueness results in the nonconvex Calculus of Variations.

Résumé

Nous prouvons que la fonction valeur d’un problème de contrôle déterministe non borné est une solution de viscosité et la soussolution de viscosité maximale d’une famille d’équations de Bellman; en particulier, celle donnée par l’hamiltonien, généralement discontinu, associé formellement au problème par analogie avec le cas borné. Dans certains cas, nous montrons que cette équation est équivalente à une équation de Hamilton–Jacobi du premier ordre avec contraintes sur le gradient pour laquelle nous donnons des résultats d’existence et d’unicité variés. Enfin, nous indiquons d’autres applications de ces résultats à des équations de H. J. du premier ordre, à certains problèmes de contrôle impulsionnel ainsi qu’à des résultats d’unicité dans des problèmes non convexes du Calcul des Variations.