Droplet spreading under weak slippage: the waiting time phenomenon

Abstract

We prove the occurrence of a waiting time phenomenon in space dimensions N<4 for the thin film equation subjected to Navier’s slip condition or even weaker slip conditions. We state a sufficient criterion on the smoothness of initial data which guarantees a local delay of the onset of spreading wherever the support of initial data locally satisfies an exterior cone condition. Our method combines a Hardy-type inequality valid on infinite cones with recently established weighted energy estimates and a novel iteration technique developed in [R. Dal Passo, L. Giacomelli, G. Grün, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 30 (2001) 437–463]. On account of formal considerations, we conjecture our criterion to be optimal.

Résumé

Dans cet article nous nous intéressons au comportement qualitatif de la frontière libre des solutions de l’équation des films minces soumise aux conditions de glissement de type Navier ou aux conditions de glissement plus faibles. Nous montrons l’apparition d’un phénomène de temps d’attente dans les dimensions d’espace $N<4$. Nous formulons un critère suffisant pour la régularité des données initiales, qui garantit un délai local pour le début de la propagation, où que soit satisfaite localement une condition cônique extérieure par le support des données initiales. Notre méthode combine une inégalité de type Hardy valide sur un cône infini avec des estimations récentes pondérées d’énergie, et avec une nouvelle technique d’itération développée dans [R. Dal Passo, L. Giacomelli, G. Grün, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 30 (2001) 437–463]. En raison de considérations formelles, nous formons la conjecture que notre critère est optimal.