A generalization of a theorem of H. Brezis & F. E. Browder and applications to some unilateral problems

Abstract

The first Section of this paper is devoted to prove the following Theorem, which extends previous results of H. Brezis and F. E. Browder: Let $w\in {\mathrm{W}}_0^{m,p}(\mathrm{\Omega })$, $w\ge 0$ a. e. in $\Omega$ and $T\in W^{-m,p^{\prime }}(\mathrm{\Omega })$, $T=\mu +h$ where $\mu$ is a positive Radon measure and $h\in {\mathrm{L}}_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{\Omega })$ is such that $hw\ge -|\Phi |$ a. e. in $\Omega$ for some $\Phi ϵL^1(\Omega )$; then $w$ belongs to $L^1(\Omega ;d\mu )$, $hw$ belongs to $L^1(\Omega )$ and $〈\mathrm{T},w\rangle ={\int }_{\mathrm{\Omega }}wd\mu +{\int }_{\mathrm{\Omega }}hwdx$.

The second and third Sections deal with applications of this Theorem to the study of two unilateral problems.

Sunto

Nella prima parte di quest’articolo viene dimostrato il seguente teorema che costituisce una generalizzazione di risultati ottenuti da H. Brezis e F. E. Browder : Sia $w\in {\mathrm{W}}_0^{m,p}(\mathrm{\Omega })$, $w\ge 0$ q. 0. in $\mathrm{\Omega }$ e $T\in W^{-m,p^{\prime }}(\Omega )$, $T=\mu +h$ dove $\mu$ è una misura positiva di Radon e $h\in {\mathrm{L}}_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{\Omega })$ è tale che $hw\ge -|\Phi |$ q. o. in $\mathrm{\Omega }$ per un certo $\Phi ϵL^1(\Omega )$; allora $w$ appartiene a ${\mathrm{L}}^1(\mathrm{\Omega };d\mu )$, $hw$ a ${\mathrm{L}}^1(\mathrm{\Omega })$ e $\langle \mathrm{T},w\rangle ={\int }_{\mathrm{\Omega }}wd\mu +{\int }_{\mathrm{\Omega }}hwdx$.

Nella seconda e terza parte tale risultato viene applicato allo studio di due problemi unilaterali.

Résumé

Dans la première partie de cet article on démontre le théorème suivant, qui généralise des résultats de H. Brezis et F. E. Browder : Soient $w\in {\mathrm{W}}_0^{m,p}(\mathrm{\Omega })$, $w\ge 0$ p. p. dans $\mathrm{\Omega }$ et $T\in W^{-m,p^{\prime }}(\Omega )$, $T=\mu +h$ où $\mu$ est une mesure de Radon positive et où $h\in {\mathrm{L}}_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{\Omega })$ est telle que $hw\ge -|\Phi |$ p. p. dans $\mathrm{\Omega }$ pour un certain $\Phi \in L^1(\Omega )$; alors $w$ appartient à $L^1(\Omega ;d\mu )$, $hw$ appartient à ${\mathrm{L}}^1(\mathrm{\Omega })$ et $\langle \mathrm{T},w\rangle ={\int }_{\mathrm{\Omega }}wd\mu +{\int }_{\mathrm{\Omega }}hwdx$.

Dans la deuxième et la troisième parties on applique ce théorème à l’étude de deux problèmes unilatéraux.