Asymptotic behavior of ground states of quasilinear elliptic problems with two vanishing parameters, Part II

Abstract

We study the pointwise asymptotic behavior of the radially symmetric ground state solution of a quasilinear elliptic equation involving the $m$-Laplacian in $R^n$ with two competing parameters. Roughly speaking, the first parameter $\epsilon$ measures the distance to a critical growth problem while the second parameter $\delta$ measures the weight of the “linear” term. We obtain the exact asymptotic behavior of the ground state, for any $1<m<n$, both at the origin and outside the origin, when the equation tends to critical growth ($\epsilon \to 0$). We also obtain the “equilibrium relation” between $\epsilon$ and $\delta$ so that when they both vanish according to this relation, ground states neither blow up nor vanish. The results of this paper complete the description begun in [F. Gazzola, J. Serrin, Ann. Inst. H. Poincaré AN 19 (2002) 477–504].

Résumé

Nous étudions le comportement asymptotique ponctuel de l’état fondamental à symétrie radiale d’une équation elliptique quasilinéaire contenant le $m$-Laplacien en $R^n$ avec deux paramètres en compétition. En gros, le premier paramètre $\epsilon$ mesure la distance d’un problème à croissance critique tandis que le second paramètre $\delta$ mesure le poids du terme “linéaire”. Nous obtenons le comportement asymptotique exact de l’état fondamental, pour tout $1<m<n$, aussi bien à l’origine que ailleurs, lorsque l’équation tend à la croissance critique ($\epsilon \to 0$). Nous obtenons également la “relation d’équilibre” entre $\epsilon$ et $\delta$ de façon que lorsqu’ils convergent vers 0 en respectant cette relation, l’état fondamental n’explose ni ne converge vers la solution nulle. Les résultats de ce papier complètent la description commencée en [F. Gazzola, J. Serrin, Ann. Inst. H. Poincaré AN 19 (2002) 477–504].