Permanence under strong aggressions is possible

Abstract

This paper analyzes the limiting behavior of the positive solutions of a general class of sublinear elliptic weighted mixed boundary value problems as the amplitude of the positive part of the lower order terms of the differential operator blows up to infinity. The main result establishes that the positive solutions approximate zero within the support of the positive part of the potential, whereas they stabilize to the positive solution of a certain elliptic mixed boundary value problem on its complement. Further, we use this result for deriving some general principles in competing species dynamics. Precisely, we shall show that in the presence of a refuge region two competing species must coexist if their reproduction rates are sufficiently large, independently of the strength of the competition. It should be emphasized that the abstract theory developed here allows measuring how large the reproduction rates should be for being permanent, providing us, simultaneously, with the limiting behavior of each of the species separately. Basically, when the pressure from the competitor grows the tackled species concentrates within its refuge. The results of this paper are substantial extensions of some pioneer results found by one of the authors in [16, Section 4]. The main ingredients in deriving the main results of this paper are the continuous dependence of the principal eigenvalue with respect to a general class of perturbations of the domain around its Dirichlet boundary – very recent result coming from [6] – and the continuous dependence of the positive solutions of the sublinear problem – coming from [7].

Résumé

On étudie le comportement asymptotique des solutions positives d’une classe très générale de problèmes aux limites non linéaires elliptiques lorsque l’amplitude du potentiel d’ordre zéro de l’opérateur différentiel tend vers l’infini. En particulier, on verra que la solution tend vers zéro sur le support de la partie positive du potentiel, tandis qu’elle converge vers la solution positive d’un certain problème aux limites elliptiques auxiliaires sur la région ou le potentiel est nul. De plus, on va tirer de ce résultat de convergence un postulat biologique concernant la lutte pour la vie des espèces qui s’entredévorent : indépendamment de l’intensité des agressions, en présence d’un refuge pour chaque compétiteur les espèces coexistent si leurs coefficients d’accroissement sont assez longs. Il faut préciser qu’avec la théorie développée ici on peut mesurer le coefficient d’accroissement critique des espèces pour avoir la coexistence. Naturellement, l’espèce agressée va se concentrer sur les refuges correspondants si l’intensité des agressions croı̂t. Tous les résultats obtenus ici sont des généralisations substantielles des résultats [16, Section 4]. Pour démontrer ces résultats on utilise la dépendance continue de la première valeur propre, et de la solution positive même du problème aux limites non linéaire, par rapport aux perturbations du domaine (cf. [6] et [7]).