La théorie mathématique de l’équilibre économique: extension du modèle de Arrow-Debreu au cadre non convexe

Abstract

The aim of this paper is to present the mathematical theory of economic equibrium in the classical model developed by K. Arrow and G. Debreu, together with one of its recent generalizations which aim to take into account the presence of “nonconvexities” in the production sector.

This generalization is important from the economic point of view since the convexity of production sets, the assumption made by Arrow and Debreu, seems to be more the exception than the rule; in particular, the presence of increasing returns (a particular form of nonconvexities) in production sectors such as railways or electricity production is recognized since the past century.

The mathematical treatment of “nonconvexities” requires techniques more sophisticated than the ones used in the classical theory; firstly, tools from “Non-smooth Analysis” developed during the past ten years and secondly, tools from global analysis.

Résumé

Le but de cet article est de présenter la théorie mathématique de l’équilibre économique dans le cadre classique traité par K. Arrow et G. Debreu, ainsi qu’une de ses généralisations récentes qui prend en compte les « non-convexités » dans le secteur de la production.

Cette généralisation est importante sur le plan économique car la convexité des ensembles de production, hypothèse faite par Arrow-Debreu, semble être l’exception plutôt que la règle; en particulier, la présence de rendements croissants (une forme particulière de non-convexité) dans des secteurs de production comme l’électricité ou les chemins de fer est reconnue depuis le siècle dernier.

Sur le plan mathématique, la généralisation au cadre non convexe nécessite l’utilisation de techniques plus sophistiquées que dans la théorie classique; d’une part, des outils d’« analyse non différentiable » développés durant les dix dernières années et, d’autre part, des outils de topologie différentielle et de la théorie de Morse.