Nonlinear scalar field equations: Existence of a positive solution with infinitely many bumps

Abstract

In this paper we consider the equation

where $N⩾2$, $p>1$, $p<2^{\ast }-1=\frac{N+2}{N-2}$, if $N⩾3$. During last thirty years the question of the existence and multiplicity of solutions to ($\mathrm{E}$) has been widely investigated mostly under symmetry assumptions on $a$. The aim of this paper is to show that, differently from those found under symmetry assumption, the solutions found in [6] admit a limit configuration and so ($\mathrm{E}$) also admits a positive solution of infinite energy having infinitely many ‘bumps’.

Résumé

Dans ce papier nous considérons l'équation

où $N⩾2$, $p>1$, $p<2^{\ast }-1=\frac{N+2}{N-2}$, si $N⩾3$. Pendant les trente dernières années la question de l'existence et de la multiplicité de solutions d‘ ($\mathrm{E}$) a été largement examinée surtout conformément aux suppositions de symétrie sur $a$. Le but de ce papier est de montrer que, différemment de ceux trouvés conformément à la supposition de symétrie, les solutions trouvées dans [6] admettent une configuration de limite et donc ($\mathrm{E}$) admet aussi une solution positive d'énergie infinie ayant une infinité de ‘bumps’.