Homoclinic orbits for a singular second order Hamiltonian system

Abstract

We consider the second order Hamiltonian system:

where $q=(q_1,\dots ,q_N)\in {\mathbf{R}}^N$ ($N\geqq 3$) and $\mathrm{V}:{\mathbf{R}}^N\setminus \{e\}\to \mathbf{R}$ ($e\in {\mathbf{R}}^N$) is a potential with a singularity, i.e., $|\mathrm{V}(q)|\to \infty$ as $q\to e$. We prove the existence of a homoclinic orbit of (HS) under suitable assumptions. Our main assumptions are the strong force condition of Gordon [8] and the uniqueness of a global maximum of $\mathrm{V}$.

Résumé

On considère le système hamiltonien du second ordre

où $q=(q_1,\dots ,q_N)\in {\mathbf{R}}^N$ ($N\geqq 3$) et $\mathrm{V}:{\mathbf{R}}^N\setminus \{e\}\to \mathbf{R}$ est un potentiel singulier : $|\mathrm{V}(q)|\to \infty$ quand $q\to e$. On montre alors l’existence d’une orbite homocline, sous l’hypothèse dite de « strong farce » (Gordon [8]) et à condition que le maximum de $\mathrm{V}$ soit unique.