On the existence of surfaces with prescribed mean curvature and boundary in higher dimensions

Abstract

Given a Lipschitz continuous function $H:{\mathbf{R}}^{n+1}\to \mathbf{R}$, we construct hypersurfaces in ${\mathbf{R}}^{n+1}$ with prescribed mean curvature $H$ which satisfy a Plateau boundary condition provided the mean curvature function $H$ satisfies a certain isoperimetric condition. For $n\leqq 6$ these surfaces are free from interior singularities.

Résumé

Étant donné une fonction continue lipschitzienne $H:{\mathbf{R}}^{n+1}\to \mathbf{R}$, nous construisons des hyper-surfaces dans ${\mathbf{R}}^{n+1}$ avec une courbure moyenne imposée $H$ qui satisfait une condition frontière de Plateau pourvu que la fonction de courbure moyenne $H$ satisfasse une certaine condition isopérimétrique. Pour $n\leqq 6$, ces surfaces n’ont pas de singularités intérieures.