The Dirichlet-problem for harmonic maps from the disk into a lorentzian warped product

Abstract

In this paper we prove the existence and the regularity of a harmonic map from the disk of ${\mathbf{R}}^2$ into the Lorentz manifold ${\mathrm{S}}^2{\times }_{\beta }^{}{\mathbf{R}}_{}^{}$, with a given boundary condition. Since the energy functional is not bounded from below, we search for its critical points which are not minima.

Résumé

Dans cet article, on démontre l’existence et la régularité d’une fonction harmonique du disque de ${\mathbf{R}}^2$ dans une variété de Lorentz ${\mathrm{S}}^2{\times }_{\beta }^{}{\mathbf{R}}_{}^{}$, dont la valeur est prescrite sur la frontière du disque. Puisque la fonctionnelle de l’énergie n’est pas bornée inférieurement, on cherche des points critiques de cette fonctionnelle qui ne sont pas des minima.