Non-collision solutions for a second order singular Hamiltonian system with weak force

Abstract

Under a weak force type condition, we consider the existence of time periodic solutions of singular Hamiltonian systems:

We assume $V(q,t)<0$ for all $q,t$ and $V(q,t)$, $V_q(q,t)\to 0$ as $|q|\to \infty$. Moreover we assume $V(q,t)$ is of a form:

where $0<\alpha <2$ and $U(q,t)\in C^2(({\mathbf{R}}^N\setminus \{0\})\times \mathbf{R},\mathbf{R})$ is a T-periodic funetion in $t$ such that $|q{|}^{\alpha }U(q,t)$, $|q{|}^{\alpha +1}{U}_q(q,t)$, $|q{|}^{\alpha +2}{U}_{qq},(q,t)$, $|q{|}^{\alpha }{U}_t,(q,t)\to 0$ as $|q|\to 0$.

For $\alpha \in (1,2]$, we prove the existence of a non-collision solution of (HS). For $\alpha \in (0,1]$, we prove that the generalized solution of (HS), which is introduced in [BR], enters the singularity 0 at most one time in its period. Our argument depends on a minimax argument due to [BR] and an estimate of Morse index of corresponding functional, which will be obtained via re-scaling argument.

Résumé

Sous une hypothèse de type force faible, nous étudions l’existence de solutions périodiques de systèmes hamiltoniens singuliers:

Nous supposons que $V(q,t)<0$ pour tout $q,t$ et que $V(q,t)$, $V_q(q,t)\to 0$ si $|q|\to \infty$.

De plus nous supposons que $V$ est de la forme:

où $0<\alpha <2$ et $U(q,t)\in C^2(({\mathbf{R}}^N\setminus \{0\})\times \mathbf{R},\mathbf{R})$ est une fonction T-périodique telle que $|q{|}^{\alpha }U(q,t)$, $|q{|}^{\alpha +1}{U}_q(q,t)$, $|q{|}^{\alpha +2}{U}_{qq}(q,t)$, $|q{|}^{\alpha }{U}_t(q,t)\to 0$ as $|q|\to 0$.

Pour $\alpha \in ]1,2]$, nous démontrons l’existence d’une solution non collision-nelle de (HS).

Pour $\alpha \in ]0,1]$, nous démontrons que la solution généralisée de (HS), introduite dans [BR], passe par la singularité $0$ au plus une fois dans la période. Notre démonstration utilise un argument de minimax dû à [BR] et une estimation de l’indice de Morse de la fonctionnelle correspondante, obtenu par un argument de changement d’échelles.