Existence of geodesics for the Lorentz metric of a stationary gravitational field

Abstract

Let $g=g(z)$ ($z=(z_0,\dots ,z_3)\in R^4$) be a Lorentz metric (with signature $+,-,-,-$) on the space-time manifold $R^4$. Suppose that $g$ is stationary, i.e., $g$ does not depend on $z_0$. Then we prove, under some other mild assumptions on $g$, that for any two points $a,b\in R^4$ there exists a geodesic, with respect to $g$, joining $a$ and $b$.

Résumé

Soit $g=g(z)$ ($z=(z_0,\dots ,z_3)\in R^4$) une métrique de Lorentz (avec signature $+,-,-,-$) sur l’espace-temps $R^4$. On suppose que $g$ soit stationnaire, c’est-à-dire indépendante de $z_0$. Nous démontrons, sous des autres convenable hypothèses sur $g$, l’existence d’arcs de géodésique joignant deux points $a,b$ arbitrairement donné dans $R^4$.