Blow-up and nonexistence of sign changing solutions to the Brezis–Nirenberg problem in dimension three

Abstract

In this paper we study low energy sign changing solutions of the critical exponent problem $({\mathrm{P}}_{\lambda }):-\mathrm{\Delta }u=u^5+\lambda u$ in $\Omega$, $u=0$ on $\partial \Omega$, where $\Omega$ is a smooth bounded domain in ${\mathbb{R}}^3$ and $\lambda$ is a real positive parameter. We make a precise blow-up analysis of this kind of solutions and prove some comparison results among some limit values of the parameter $\lambda$ which are related to the existence of positive or of sign changing solutions.

Résumé

Dans cet article, nous étudions les solutions changeant de signe et à énergie minimale du problème avec exposant critique $({\mathrm{P}}_{\lambda }):-\mathrm{\Delta }u=u^5+\lambda u$ dans $\Omega$, $u=0$ sur $\partial \Omega$, où $\Omega$ est un domaine borné et régulier de ${\mathbb{R}}^3$ et $\lambda$ est un paramètre réel strictement positif. Nous faisons une analyse précise du 'blow-up’ de ce type de solutions et nous prouvons des résultats de comparaisons pour certaines valeurs limites du paramètre $\lambda$ qui sont liées à l'existence des solutions positives ou des solutions changeant de signe.