Construction of the Leray-Schauder degree for elliptic operators in unbounded domains

Abstract

This paper is devoted to a construction of the Leray–Schauder degree for quasilinear elliptic operators in unbounded domains. The main problem here is that such operators can not be reduced to compact ones and the usual theory (see [1]) can not be applied. In [2, 3] the Leray–Schauder degree was constructed in one dimensional case. To do this certain lower estimates of the operators were obtained and the approach of Skrypnik [4] was applied. In this paper we generalize these results to the multidimensional case. When the degree is defined the Leray–Schauder method can be used to prove the existence of solutions [3].

Résumé

Cet article est consacré à la construction du degré de Leray–Schauder pour les opérateurs elliptiques dans les domaines non bornés. Le problème essentiel ici est que ces opérateurs ne peuvent pas être réduits à des compacts. Par conséquent, on ne peut pas utiliser la théorie habituelle [1]. Dans [2, 3] le degré est construit pour les cas monodimen-sionnel. Pour cette construction, certaines estimations des opérateurs sont obtenues, et l’approche de Skrypnik [4] est utilisée. Dans cet article, nous généralisons ces résultats pour le cas multidimensionnel. Quand le degré est déterminé, la méthode de Leray–Schauder peut être appliquée pour prouver l’existence de solutions [3].