On a new class of elastic deformations not allowing for cavitation

Abstract

Let $\Omega \subset R^n$ be open and bounded and assume that $u:\Omega \to R^n$ satisfies $u\in W^{1,p}(\Omega ,R^n)$, $\mathrm{adj}\mathrm{D}u\in L^q(\Omega ;R^{n\times n})$ with $p\geqq n-1$, $q\geqq \frac{n}{n-1}$. We show that for $g\in C^1(R^n;R^n)$ with bounded gradient, one has the identity $\frac{\partial }{\partial x^j}\left\{\left(g^i\circ u\right){\left(\mathrm{adj}\mathrm{D}u\right)}_i^j\right\}=(\mathrm{div}g)\circ u\det \mathrm{D}u$ in the sense of distributions. As an application, we obtain existence results in nonlinear elasticity under weakened coercivity conditions. We also use the above identity to generalize Šverák’s (cf. [Sv88]) regularity and invertibility results, replacing his hypothesis $q\geqq \frac{p}{p-1}$ by $q\geqq \frac{n}{n-1}$. Finally if $q=\frac{n}{n-1}$ and if $\det \mathrm{D}u\geqq 0$ a.e., we show that $\det \mathrm{D}u\ln (2+\det \mathrm{D}u)$ is locally integrable.

Résumé

Soit $\Omega \subset R^n$ un ouvert borné et soit $u:\Omega \to R^n$ une application dans $W^{1,p}(\Omega ,R^n)$ avec $\mathrm{adj}\mathrm{D}u\in L^q(\Omega ;R^{n\times n})$ et $p\geqq n-1$, $q\geqq \frac{n}{n-1}$. On montre l’identité $\frac{\partial }{\partial x^j}\left\{\left(g^i\circ u\right){\left(\mathrm{adj}\mathrm{D}u\right)}_i^j\right\}=(\mathrm{div}g)\circ u\det \mathrm{D}u$ au sens de distributions si $g\in C^1(R^n;R^n)$ avec gradient borné. Par conséquence on obtient des nouveaux résultats d’existence en élasticité non linéaire. On obtient aussi une généralization de résultats de Šverák sur la régularité et l’invertibilité en remplaçant l’hypothèse $q\geqq \frac{p}{p-1}$ par $q\geqq \frac{n}{n-1}$. Finalement si $q=\frac{n}{n-1}$ et $\det \mathrm{D}u\geqq 0$ p.p. on montre que $\det \mathrm{D}u\ln (2+\det \mathrm{D}u)$ est localement intégrable.