Étude qualitative des solutions réelles d’une équation différentielle liée à l’équation de Ginzburg-Landau

Abstract

We consider the ordinary differential equation satisfied by the real functions $f(r)$ such that the $u(r{e}^{i\theta })=f(r)e^{iq\theta }$ ($q\in N^{\ast }$) are solutions of the Ginzburg–Landau equation $-\mathrm{\Delta }u=u(1-|u{|}^2)$. We show: that such a function $f(r)$, if defined on a neighbourhood of $0$, is analytic and uniquely determined by the number $a=f(q)(0)/q!$; that one value of a only, say $A$, yields a strictly increasing function $f(r)$ running from $0$ to $1$ as $r$ runs from $0$ to $+\infty$, of which we give an asymptotic expansion for $r\to +\infty$. We also prove that any $a\in ]–A,A[\setminus \{0\}$ yields an indefinitely oscillating function $f(r)$, and that the length of the interval between two consecutive zeroes has $\pi$ as its limit.

Résumé

Nous étudions l’équation différentielle satisfaite par les fonctions réelles $f(r)$ telles que $u(r{e}^{i\theta })=f(r)e^{iq\theta }$ ($q\in N^{\ast }$) soit solution de l’équation de Ginzburg–Landau $-\mathrm{\Delta }u=u(1-|u{|}^2)$. Nous montrons: qu’une telle fonction $f(r)$, si elle est définie sur un voisinage de $0$, est analytique et parfaitement déterminée par le nombre $a=f(q)(0)/q!$; qu’une seule valeur de $a$, soit $A$, donne une fonction $f(r)$ croissant strictement de $0$ à $1$ quand $r$ croît de $0$ à $+\infty$, et dont nous donnons un développement asymptotique pour $r\to +\infty$. Nous montrons aussi que toute valeur $a\in ]–A,A[\setminus \{0\}$ donne une fonction $f(r)$ oscillant indéfiniment, et que l’écart entre deux zéros consécutifs a pour limite $\pi$.