A Calabi theorem for solutions to the parabolic Monge–Ampère equation with periodic data

Abstract

We classify all solutions to

where $f\in C^{\alpha }({\mathbb{R}}^n)$ is a positive periodic function in $x$. More precisely, if $u$ is a parabolically convex solution to above equation, then $u$ is the sum of a convex quadratic polynomial in $x$, a periodic function in $x$ and a linear function of $t$. It can be viewed as a generalization of the work of Gutiérrez and Huang in 1998. And along the line of approach in this paper, we can treat other parabolic Monge–Ampère equations.

Résumé

Nous classifions toutes les solutions à

où $f\in C^{\alpha }({\mathbb{R}}^n)$ est une fonction périodique positive en $x$. Plus précisément, si $u$ est une solution paraboliquement convexe de l'équation ci-dessus, alors $u$ est la somme d'un polynôme quadratique convexe en $x$, une fonction périodique en $x$ et une fonction linéaire de $t$. Cela peut être considéré comme une généralisation du travail de Gutiérrez et Huang en 1998. Et le long de la ligne d'approche dans cet article, nous pouvons traiter d'autres équations paraboliques Monge–Ampère.