JournalsaihpcVol. 35, No. 5pp. 1143–1173

A Calabi theorem for solutions to the parabolic Monge–Ampère equation with periodic data

  • Wei Zhang

    Institut für Analysis, Leibniz Universität Hannover, Welfengarten 1, 30167 Hannover, Germany
  • Jiguang Bao

    School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University, Laboratory of Mathematics and Complex Systems, Ministry of Education, Beijing 100875, China
A Calabi theorem for solutions to the parabolic Monge–Ampère equation with periodic data cover
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Abstract

We classify all solutions to

utdetD2u=f(x) in Rn+1,−u_{t}\mathrm{\det }⁡D^{2}u = f(x)\:\text{ in }\:\mathbb{R}_{−}^{n + 1},

where fCα(Rn)f \in C^{\alpha }(\mathbb{R}^{n}) is a positive periodic function in x. More precisely, if u is a parabolically convex solution to above equation, then u is the sum of a convex quadratic polynomial in x, a periodic function in x and a linear function of t. It can be viewed as a generalization of the work of Gutiérrez and Huang in 1998. And along the line of approach in this paper, we can treat other parabolic Monge–Ampère equations.

Résumé

Nous classifions toutes les solutions à

utdetD2u=f(x) in Rn+1,−u_{t}\mathrm{\det }⁡D^{2}u = f(x)\:\text{ in }\:\mathbb{R}_{−}^{n + 1},

fCα(Rn)f \in C^{\alpha }(\mathbb{R}^{n}) est une fonction périodique positive en x. Plus précisément, si u est une solution paraboliquement convexe de l'équation ci-dessus, alors u est la somme d'un polynôme quadratique convexe en x, une fonction périodique en x et une fonction linéaire de t. Cela peut être considéré comme une généralisation du travail de Gutiérrez et Huang en 1998. Et le long de la ligne d'approche dans cet article, nous pouvons traiter d'autres équations paraboliques Monge–Ampère.

Cite this article

Wei Zhang, Jiguang Bao, A Calabi theorem for solutions to the parabolic Monge–Ampère equation with periodic data. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 35 (2018), no. 5, pp. 1143–1173

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2017.09.007