BMO, integrability, Harnack and Caccioppoli inequalities for quasiminimizers

Abstract

In this paper we use quasiminimizing properties of radial power-type functions to deduce counterexamples to certain Caccioppoli-type inequalities and weak Harnack inequalities for quasisuperharmonic functions, both of which are well known to hold for $p$-superharmonic functions. We also obtain new bounds on the local integrability for quasisuperharmonic functions. Furthermore, we show that the logarithm of a positive quasisuperminimizer has bounded mean oscillation and belongs to a Sobolev type space.

Résumé

Dans cet article nous utilisons les propriétés des fonctions avec puissance radiale afin d'obtenir des contre-exemples à certaines inéquations de type Caccioppoli et Harnack faible pour les fonctions quasisuperharmoniques, lesquelles sont bien connues être valables pour les fonctions $p$-superharmoniques. Nous obtenons aussi de nouvelles bornes pour l'intégrabilité locale des fonctions quasisuperharmoniques. De plus nous démontrons que le logarithme d'une fonction positive quasiminimisante est de type BMO, et appartient à un espace de Sobolev.