Abstract

We prove the existence and uniqueness in $\mathbb{R}^{n,1}$ of entire spacelike hypersurfaces contained in the future of the origin O and asymptotic to the light-cone, with scalar curvature prescribed at their generic point M as a negative function of the unit vector pointing in the direction of OM\limits^{\rightarrow }, divided by the square of the norm of OM\limits^{\rightarrow } (a dilation invariant problem). The solutions are seeked as graphs over the future unit-hyperboloid emanating from O (the hyperbolic space); radial upper and lower solutions are constructed which, relying on a previous result in the Cartesian setting, imply their existence.

Résumé

On prouve l'existence et l'unicité dans $\mathbb{R}^{n,1}$ d'hypersurfaces entières de genre espace contenues dans le futur de l'origine O et asymptotes au cône de lumière, dont la courbure scalaire est prescrite au point générique M comme fonction négative du vecteur unité pointant en direction de OM\limits^{\rightarrow }, divisée par le carré de la norme du vecteur OM\limits^{\rightarrow } (un problème invariant par homothétie). Les solutions sont cherchées comme graphes sur l'hyperboloïde-unité futur émanant de O (l'espace hyperbolique) ; des solutions supérieure et inférieure radiales sont construites qui, d'après un résultat antérieur en cartésien, impliquent l'existence de telles solutions.