Entire spacelike radial graphs in the Minkowski space, asymptotic to the light-cone, with prescribed scalar curvature

  • Pierre Bayard

    Instituto de Física y Matemáticas, U.M.S.N.H. Ciudad Universitaria, CP. 58040 Morelia, Michoacán, Mexico
  • Philippe Delanoë

    Université de Nice-Sophia Antipolis, Laboratoire J.-A. Dieudonné, Parc Valrose, 06108 Nice Cedex 2, France

Abstract

We prove the existence and uniqueness in Rn,1\mathbb{R}^{n,1} of entire spacelike hypersurfaces contained in the future of the origin O and asymptotic to the light-cone, with scalar curvature prescribed at their generic point M as a negative function of the unit vector pointing in the direction of OM\limits^{\rightarrow }, divided by the square of the norm of OM\limits^{\rightarrow } (a dilation invariant problem). The solutions are seeked as graphs over the future unit-hyperboloid emanating from O (the hyperbolic space); radial upper and lower solutions are constructed which, relying on a previous result in the Cartesian setting, imply their existence.

Résumé

On prouve l'existence et l'unicité dans Rn,1\mathbb{R}^{n,1} d'hypersurfaces entières de genre espace contenues dans le futur de l'origine O et asymptotes au cône de lumière, dont la courbure scalaire est prescrite au point générique M comme fonction négative du vecteur unité pointant en direction de OM\limits^{\rightarrow }, divisée par le carré de la norme du vecteur OM\limits^{\rightarrow } (un problème invariant par homothétie). Les solutions sont cherchées comme graphes sur l'hyperboloïde-unité futur émanant de O (l'espace hyperbolique) ; des solutions supérieure et inférieure radiales sont construites qui, d'après un résultat antérieur en cartésien, impliquent l'existence de telles solutions.

Cite this article

Pierre Bayard, Philippe Delanoë, Entire spacelike radial graphs in the Minkowski space, asymptotic to the light-cone, with prescribed scalar curvature. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 26 (2009), no. 3, pp. 903–915

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2008.03.008