Entire spacelike radial graphs in the Minkowski space, asymptotic to the light-cone, with prescribed scalar curvature

Abstract

We prove the existence and uniqueness in ${\mathbb{R}}^{n,1}$ of entire spacelike hypersurfaces contained in the future of the origin $O$ and asymptotic to the light-cone, with scalar curvature prescribed at their generic point $M$ as a negative function of the unit vector pointing in the direction of $\overrightarrow{OM}$, divided by the square of the norm of $\overrightarrow{OM}$ (a dilation invariant problem). The solutions are seeked as graphs over the future unit-hyperboloid emanating from $O$ (the hyperbolic space); radial upper and lower solutions are constructed which, relying on a previous result in the Cartesian setting, imply their existence.

Résumé

On prouve l'existence et l'unicité dans ${\mathbb{R}}^{n,1}$ d'hypersurfaces entières de genre espace contenues dans le futur de l'origine $O$ et asymptotes au cône de lumière, dont la courbure scalaire est prescrite au point générique $M$ comme fonction négative du vecteur unité pointant en direction de $\overrightarrow{OM}$, divisée par le carré de la norme du vecteur $\overrightarrow{OM}$ (un problème invariant par homothétie). Les solutions sont cherchées comme graphes sur l'hyperboloïde-unité futur émanant de $O$ (l'espace hyperbolique) ; des solutions supérieure et inférieure radiales sont construites qui, d'après un résultat antérieur en cartésien, impliquent l'existence de telles solutions.