An isoperimetric inequality for a nonlinear eigenvalue problem

Gisella Croce; Antoine Henrot; Giovanni Pisante

doi:10.1016/j.anihpc.2011.08.001

JournalsaihpcVol. 29, No. 1pp. 21–34

An isoperimetric inequality for a nonlinear eigenvalue problem

Gisella Croce
Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre, Université du Havre, 25, rue Philippe Lebon, 76063 Le Havre, France
Antoine Henrot
Institut Élie Cartan Nancy, Nancy Université-CNRS-INRIA, B.P. 70239, 54506 Vandoeuvre les Nancy, France
Giovanni Pisante
Dipartimento di Matematica, Seconda Università degli studi di Napoli, Via Vivaldi, 43, 81100 Caserta, Italy

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Abstract

We prove an isoperimetric inequality of the Rayleigh–Faber–Krahn type for a nonlinear generalization of the first twisted Dirichlet eigenvalue, defined by

λ^{p, q} (Ω) = in f {\frac{∥\nabla v ∥ _{L^{p} (Ω)}}{∥ v ∥ _{L^{q} (Ω)}}, v \neq = 0, v \in W_{0}^{1, p} (Ω), \int_{Ω} ∣ v ∣^{q - 2} v d x = 0} .

More precisely, we show that the minimizer among sets of given volume is the union of two equal balls.

A correction to this paper is available.

Résumé

On montre une inégalité isopérimétrique du type Rayleigh–Faber–Krahn pour une généralisation non-linéaire de la première valeur propre de Dirichlet torsadée, définie par

λ^{p, q} (Ω) = in f {\frac{∥\nabla v ∥ _{L^{p} (Ω)}}{∥ v ∥ _{L^{q} (Ω)}}, v \neq = 0, v \in W_{0}^{1, p} (Ω), \int_{Ω} ∣ v ∣^{q - 2} v d x = 0} .

Plus précisément, on montre que le minimum parmi les ensembles de volume donné est lʼunion de deux boules égales.

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Cite this article

Gisella Croce, Antoine Henrot, Giovanni Pisante, An isoperimetric inequality for a nonlinear eigenvalue problem. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 29 (2012), no. 1, pp. 21–34

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2011.08.001