Uniqueness of motion by mean curvature perturbed by stochastic noise

Abstract

We present some uniqueness (non-fattening) results for the motion by mean curvature perturbed by stochastic noise. It is well known that for special initial data, the deterministic motion has multiple solutions, i.e., it develops interior. Our result for a particular evolution of curves in $R^2$ illustrates that stochastic perturbations can select a unique solution in a natural way. The noise we use is white in time and constant in space. The results are formulated both almost surely and in probability law.

Résumé

Nous présentons des résultats d’unicité pour le mouvement par courbure moyenne, perturbé par un bruit stochastique. Il est bien connu que pour certaines conditions initiales, le mouvement a plusieurs solutions, i.e. il acquiert un intérieur. Notre résultat pour l’évolution de courbes spécifiques dans$R^2$ illustre le fait que les perturbations stochastiques peuvent sélectionner une unique solution de manière naturelle. Le bruit utilisé ici est blanc dans le temps et constant dans l’espace. Nous donnons nos résultats en termes presque sũrs ainsi qu’en loi de probabilité.