A Liouville theorem for solutions of the Monge–Ampère equation with periodic data

Abstract

A classical result of Jörgens, Calabi and Pogorelov states that any strictly convex smooth function $u$ with $\det (D^{2}u)=\mathrm{constant}$ in $R^n$ must be a quadratic polynomial. We establish the following extension: any strictly convex smooth function $u$ with $\det (D^{2}u)$ being 1-periodic in each variable must be the sum of a quadratic polynomial and a function which is 1-periodic in each variable. Given any positive periodic right-hand side, the existence and uniqueness of such solutions are well known.

Résumé

Selon un théorème classique de Jörgens, Calabi et Pogorelov, toute solution régulière et strictement convexe de l’équation $\det (D^{2}u)=\mathrm{constante}$ dans $R^n$ doit être égale à un polynôme quadratique. On démontre le résultat suivant : si $u$ une fonction régulière et strictement convexe telle que $\det (D^{2}u)$ est 1-périodique par rapport à chaque variable, alors $u$ est la somme d’un polynôme quadratique et d’une fonction 1-périodique par rapport à chaque variable. Étant donnée une fonction périodique et positive $f$, l’existence et l’unicité des solutions de $\det (D^{2}u)=f$ est un problème bien connu.