Abstract

A classical result of Jörgens, Calabi and Pogorelov states that any strictly convex smooth function u with det(D2u)=constant in Rn must be a quadratic polynomial. We establish the following extension: any strictly convex smooth function u with det(D2u) being 1-periodic in each variable must be the sum of a quadratic polynomial and a function which is 1-periodic in each variable. Given any positive periodic right-hand side, the existence and uniqueness of such solutions are well known.

Résumé

Selon un théorème classique de Jörgens, Calabi et Pogorelov, toute solution régulière et strictement convexe de l’équation det(D2u)=constante dans Rn doit être égale à un polynôme quadratique. On démontre le résultat suivant : si u une fonction régulière et strictement convexe telle que det(D2u) est 1-périodique par rapport à chaque variable, alors u est la somme d’un polynôme quadratique et d’une fonction 1-périodique par rapport à chaque variable. Étant donnée une fonction périodique et positive f, l’existence et l’unicité des solutions de det(D2u)=f est un problème bien connu.