A Liouville theorem for solutions of the Monge–Ampère equation with periodic data

  • YanYan Li

    Department of Mathematics, Rutgers University, 110 Frelinghuysen Rd., Piscataway, NJ 08854, USA
  • L Caffarelli

    Department of Mathematics, The University of Texas, Austin, TX 78712, USA

Abstract

A classical result of Jörgens, Calabi and Pogorelov states that any strictly convex smooth function with in  must be a quadratic polynomial. We establish the following extension: any strictly convex smooth function with being 1-periodic in each variable must be the sum of a quadratic polynomial and a function which is 1-periodic in each variable. Given any positive periodic right-hand side, the existence and uniqueness of such solutions are well known.

Résumé

Selon un théorème classique de Jörgens, Calabi et Pogorelov, toute solution régulière et strictement convexe de l’équation dans doit être égale à un polynôme quadratique. On démontre le résultat suivant : si une fonction régulière et strictement convexe telle que est 1-périodique par rapport à chaque variable, alors est la somme d’un polynôme quadratique et d’une fonction 1-périodique par rapport à chaque variable. Étant donnée une fonction périodique et positive , l’existence et l’unicité des solutions de est un problème bien connu.

Cite this article

YanYan Li, L Caffarelli, A Liouville theorem for solutions of the Monge–Ampère equation with periodic data. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 21 (2004), no. 1, pp. 97–120

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2003.01.005