Blow-up solutions for the Schrödinger equation in dimension three with a concentrated nonlinearity

Abstract

We present some results on the blow-up phenomenon for the Schrödinger equation in dimension three with a nonlinear term supported in a fixed point. We find sufficient conditions for the blow-up exploiting the moment of inertia of the solution and the uncertainty principle. In the critical case, we discuss the additional symmetries of the equation and construct a family of explicit blow-up solutions.

Résumé

On présente des résultats sur le phénomène de l’explosion pour l’équation de Schrödinger en trois dimensions avec un terme nonlinéaire concentré en un point fixé. On trouve des conditions suffisantes pour l’explosion en utilisant le moment d’inertie de la solution et le principe d’indétermination. Dans le cas critique, on met en évidence l’existence de quelques symétries supplémentaires et l’on construit une famille de solutions explosives explicites.