Hölder continuity conditions for the solvability of Dirichlet problems involving functionals with free discontinuities

Abstract

The paper deals with the problem of minimizing a free discontinuity functional under Dirichlet boundary conditions. An existence result was known so far for $C^1(\partial \Omega )$ boundary data $\hat{u}$. We show here that the same result holds for $\hat{u}\in C^{0,\mu }(\partial \Omega )$ if $\mu >\frac{1}{2}$ and it cannot be extended to cover the case $\mu =\frac{1}{2}$. The proof is based on some geometric measure theoretic properties, in part introduced here, which are proved a priori to hold for all the possible minimizers.

Résumé

On savait que le minimum d’une fonctionnelle à discontinuité libre avec condition de Dirichlet sur le bord était atteint quand la donnée de bord $\hat{u}$ est $C^1(\partial \Omega )$. Nous étendons ce résultat à $\hat{u}\in C^{0,\mu }(\partial \Omega )$ si $\mu >\frac{1}{2}$ et montrons qu’il n’est plus vrai pour $\mu =\frac{1}{2}$. Pour cela, nous démontrons des propriétés de théorie de la mesure géométrique a priori valides pour tout minimiseur de la fonctionnelle.